数学公式|数列求和 等比数列求和公式推导与应用方法_等比数列求和公式

📚 数学公式|数列求和 等比数列求和公式推导与应用方法_等比数列求和公式

🔢 核心公式：
等比数列求和公式（公比 ( q \neq 1 )）：
[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} ]
（( a_1 ) 为首项，( n ) 为项数）

✨ 推导方法：

1. 错位相减法：

   • 写出 ( S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1} )
   • 两边同乘 ( q ) ➡️ ( qS_n = a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^n )
   • 两式相减得 ( (1-q)S_n = a_1(1 - q^n) )
   • 整理即得公式！

2. 几何意义法（适合 ( q < 1 ) 无限求和）：

   无限项和 ( S_{\infty} = \frac{a_1}{1-q} ) 🌟

💡 应用场景：

• 金融复利计算 💰
• 计算机算法复杂度分析 💻
• 物理衰减模型（如半衰期）⚛️

📌 易错点：

• 公比 ( q = 1 ) 时，( S_n = n \cdot a_1 )
• 注意项数 ( n ) 的取值（从0还是1开始）

🔍 扩展：

• 等差×等比混合数列求和 ➡️ 错位相减法升级版！
  参考：2025-08 数学教材及学术资料）